CzWiki

Deformace



Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u plastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní. Tyto síly bývají také označovány jako deformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.

Obsah


Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

V čase \({\displaystyle t=0}\) můžeme popsat polohu částic kontinua jako \({\displaystyle y_{j}=y_{j}(x_{i},0)=x_{j}}\). V čase \({\displaystyle \Delta t}\) pak bude poloha odpovídajících částic určena jako \({\displaystyle y_{j}=y_{j}(x_{i},\Delta t)}\). Lze definovat vektor posunutí \({\displaystyle u_{i}}\) jako

\({\displaystyle u_{i}=y_{i}-x_{i}}\)

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

\({\displaystyle y_{j}=x_{j}+u_{j}(x_{i})}\)

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Uvažujeme-li libovolný bod \({\displaystyle x_{j}}\) kontinua a v jeho okolí bod \({\displaystyle x_{j}+\mathrm {d} x_{j}}\), pak na konci deformačního pohybu se bod z \({\displaystyle x_{j}}\) přesune do bodu \({\displaystyle y_{j}}\) a bod \({\displaystyle x_{j}+\mathrm {d} x_{j}}\) do bodu \({\displaystyle y_{j}+\mathrm {d} y_{j}}\). Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu \({\displaystyle x_{j}}\) jako \({\displaystyle u_{j}}\) a vektor posunutí odpovídající bodu \({\displaystyle x_{j}+\mathrm {d} x_{j}}\) jako \({\displaystyle u_{j}+\mathrm {d} u_{j}}\), a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu \({\displaystyle x_{j}}\), můžeme použít zápis

\({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\mathrm {d} u_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\left({\frac {\mathrm {d} u_{j}}{\mathrm {d} x_{i}}}\right)\mathrm {d} x_{i}}\)

Na počátku děje je vzdálenost mezi body \({\displaystyle x_{j}}\) a \({\displaystyle x_{j}+\mathrm {d} x_{j}}\) určena jako \({\displaystyle \mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}}\). Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech \({\displaystyle x_{j}}\) a \({\displaystyle x_{j}+\mathrm {d} x_{j}}\) určena jako \({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}}\) (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou \({\displaystyle x_{j}}\) a konečné \({\displaystyle y_{j}}\), se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

\({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}}\)

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

\({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2\varepsilon _{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}}\)

kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací

\({\displaystyle \varepsilon _{lk}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}+\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)\right]}\)

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. \({\displaystyle \varepsilon _{lk}=\varepsilon _{lk}(x_{i})}\), a je to symetrický tenzor druhého řádu.

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí \({\displaystyle u_{i}}\) se souřadnicemi \({\displaystyle x_{j}}\), tzn. jsou malé také parciální derivace \({\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}}\). V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen \({\displaystyle \left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)}\) malý ve srovnání s členy \({\displaystyle {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}}\) a \({\displaystyle {\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}}\) a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

\({\displaystyle e_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}\right)}\)

Pro malé deformace tedy platí

\({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2e_{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}\,}\)

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

\({\displaystyle {\overline {e}}_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial y_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial y_{k}}}\right)}\)

a platí

\({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2{\overline {e}}_{lk}\mathrm {d} y_{l}\mathrm {d} y_{k}}\)

Pro malé deformace jsou velikosti posunů \({\displaystyle \mathrm {d} x_{i}}\) v nedeformovaném stavu a jim odpovídající \({\displaystyle \mathrm {d} y_{j}}\) v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací \({\displaystyle e_{ij}}\) a \({\displaystyle {\overline {e}}_{ij}}\) můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru \({\displaystyle e_{ij}}\) na izotropní část a deviátor

\({\displaystyle e_{ij}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}+\left(e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}\right)}\),

kde \({\displaystyle e_{I}}\) je stopa tenzoru malých deformací a \({\displaystyle \delta _{ij}}\) je Kroneckerovo delta. Označuje se

\({\displaystyle e_{ij}^{(s)}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}}\)

jako izotropní část a

\({\displaystyle e_{ij}^{(d)}=e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}}\)

jako deviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

Význam diagonálních složek tenzoru \({\displaystyle e_{ij}}\) lze určit následující úvahou.

Výraz \({\displaystyle \mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{1}}\) je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení \({\displaystyle l_{0}^{2}}\). Podobně pro výraz \({\displaystyle \mathrm {d} y_{i}\mathrm {d} y_{i}}\), který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení \({\displaystyle l^{2}}\). Potom platí

\({\displaystyle {\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}=2e_{11}}\)

Pro malé deformace je \({\displaystyle l_{0}{\dot {=}}l}\), takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu \({\displaystyle {\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {(l-l_{0})(l+l_{0})}{l_{0}^{2}}}{\dot {=}}{\frac {(l-l_{0})2l_{0}}{l_{0}^{2}}}=2{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}\), čímž získáme

\({\displaystyle e_{11}{\dot {=}}{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}\)

Složka tenzoru \({\displaystyle e_{11}}\) malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou \({\displaystyle x_{1}}\) kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky \({\displaystyle e_{22}}\) a \({\displaystyle e_{33}}\) přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami \({\displaystyle x_{2}}\) a \({\displaystyle x_{3}}\).

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami \({\displaystyle x_{1},x_{2}}\). Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky \({\displaystyle e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}}\). Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. \({\displaystyle e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\neq 0}\), pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou \({\displaystyle x_{1}}\), tzn. lze jej před deformací popsat vektorem \({\displaystyle (\mathrm {d} x_{1},0)}\), lze po deformaci popsat vektorem \({\displaystyle \left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)}\), kde \({\displaystyle u_{2}}\) je složka vektoru posunutí podél osy \({\displaystyle x_{2}}\). Pro úhel \({\displaystyle \alpha _{1}}\) mezi vektory \({\displaystyle (\mathrm {d} x_{1},0)}\) a \({\displaystyle \left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)}\) platí

\({\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}}\)

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou \({\displaystyle x_{2}}\), který je možné před deformací popsat vektorem \({\displaystyle (0,\mathrm {d} x_{2})}\), určit složky tohoto elementu po deformaci jako \({\displaystyle \left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)}\). Pro úhel \({\displaystyle \alpha _{2}}\) mezi vektory \({\displaystyle (0,\mathrm {d} x_{2})}\) a \({\displaystyle \left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)}\) platí

\({\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}}\)

Pro malé deformace lze použít aproximaci \({\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha _{i}\approx \alpha _{i}}\), což umožňuje psát

\({\displaystyle 2e_{12}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}\)

Smíšená složka tenzoru deformace \({\displaystyle e_{12}}\) tedy odpovídá polovině úhlu \({\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}\), o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami \({\displaystyle x_{1}}\) a \({\displaystyle x_{2}}\). Úhel \({\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}\) se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka \({\displaystyle e_{12}}\) má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku \({\displaystyle e_{13}}\) rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku \({\displaystyle e_{23}}\) rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky \({\displaystyle e_{ij}}\), kvádr, jehož hrany mají před deformací délky \({\displaystyle l_{01},l_{02},l_{03}}\), přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na \({\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}}\). Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí

\({\displaystyle {\frac {l_{i}-l_{0i}}{l_{0i}}}=e_{ii}}\)

pro \({\displaystyle i=1,2,3}\).

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako \({\displaystyle l_{i}=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}}\). Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

\({\displaystyle V=l_{1}l_{2}l_{3}=(l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{33})=l_{01}l_{02}l_{03}+l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_{0}+V_{0}e_{I}}\)

což bývá obvykle zapisováno jako

\({\displaystyle e_{I}={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}}\),

kde \({\displaystyle V_{0}}\) je objem tělesa před deformací a \({\displaystyle V}\) je objem tělesa po deformaci. Stopa \({\displaystyle e_{I}}\) tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části \({\displaystyle e_{ij}}\) je stejná jako stopa celého tenzoru \({\displaystyle e_{ij}}\), odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru \({\displaystyle \operatorname {Tr} \,e^{(d)}}\) je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.


Související články


Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 28.06.2021 08:52:08 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto czwiki.org nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.